逻辑代数

逻辑代数或称布尔代数，它是分析与设计逻辑电路的数字工具。它虽然和普通代数一样也用字母(A，B，C，…)表示变量，但变量的取值只有1和0两种，所谓逻辑1和逻辑0。它们不是数字符号，而是代表两种相反的逻辑状态。逻辑代数所表示的是逻辑关系，不是数量关系，这时它与普通代数本质上的区别。

在逻辑代数中只有逻辑乘(与运算)、逻辑加(或运算)和求反(非运算)三种基本运算。根据这三种基本运算可以推导出逻辑运算的一些法则，就是下面列出的逻辑代数运算法则。

1、逻辑代数运算法则

【基本运算法则】

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

【交换律】

(10)

(11)

【结合律】

(12)

(13)

【分配律】

(14)

(15)

证：

【吸收律】

(16)

证：

(17)

(18)

(19)

证：

(20)

(21)

【反演律(摩根定律)】

(22)

证：

(23)

证：

2、逻辑函数的化简

为了便于比较，今将五种常用的逻辑门电路列于表中。可以将这些基本逻辑门电路组合起来，构成组合逻辑电路，以实现各种逻辑功能。

表所列的各种逻辑式中，A和B是输入变量，Y是输出变量；字母上面无反号的称为原变量，有反号的称为反变量。这几个式子分别表达了相应的与、或、非、与非和或非逻辑关系。输出变量Y也就是输入变量A和B的逻辑函数。逻辑函数常用逻辑状态表、逻辑式和逻辑图(也称逻辑电路)3种方法表示；它们之间可以相互转换。有时表示逻辑函数的逻辑式较为复杂，可进行化简，这就可以少用元件，可靠性也因而提高。

例1、应用逻辑代数运算法则化简下列逻辑式：

解：

简化得

由法则(19)得。所以

由法则(6)得，所以

由法则(19)得，所以

由法则(22)得，所以

由法则(19)得，所以

例2、试证明

证：

(因)