电阻的星形和三角形联结

　　1. 星形和三角形电路

图1 电阻的星形联接与三角形联接

　　电阻的星形联接(简称Y形联接或T形联接)[图1(a)]与三角形联接(简称Δ形联接或形联接) [图1(b)]在一定条件下可以相互等效，用以实现网络的等效化简。例如图2(b)所示的电桥电路，不能用串并联等效直接计算等效电阻。如将组成的三角形联接等效成星形联接，如图(a)所示，或者将组成的星形联接等效成三角形联接，如图(c)所示，然后便可使用串并联等效规则计算等效电阻。

图2 电桥电路等效电阻的计算

　　2. 等效条件
　　1）分析：将Y形联接变换为Δ形联接时，将减少一个节点，但要增加一个回路；而将Δ形联接变换为Y形联接时，将减少一个回路，但要增加一个节点；星形与三角形联接的网络属于三端网络，有三对端子间电压和三个端子电流，根据KVL和KCL三端网络的对外作用可以用两对端子间电压 ，和对应的两个端子电流来表示。如果Y形联接的网络和Δ形联接的网络具有相同的电压、电流关系，则这两种网络可以相互替代，而不影响其它部分的电压与电流，此时称Y形网络与Δ形网络相互等效。
　　2）星形连接中的电压、电流关系：
　　根据KVL和欧姆定律，对Y形联接网络[图(a)]可列出如下电压、电流关系方程

　　写成矩阵形式：

　　根据KCL和欧姆定律，对Δ形联接的网络[图1(b)]可列出如下电压、电流关系方程

　　写成矩阵形式：

　　二者之间的等效条件：，经计算求得：
　　Y形联接到Δ形联接的等效变换公式

　　Δ形联接到Y形联接的等效变换公式

　　常用的是对称情况，即三个相等的电阻接成Y形或Δ形时的等效变换。设

　　由变换公式可得

，

　　经过相反的变换得出

。

　　例题1：求图示电路的等效电阻Ri。

图3

　　解：先将节点①、②、③之间的对称Δ形联接电阻化为等效对称的Y形联接，如图(b)所示。由Y形联接和Δ形联接之间的相互变换公式求得Y形联接电阻为2Ω。对图(b)可用串并联化简求出等效电阻，如图(c)所示。

(b) (c)