一阶RL电路的暂态过程

一阶RL电路也是以种常用的电路，一阶RL电路暂态过程的分析方法和一阶RC电路一样可用经典法和三要素法。

1、经典法

图3-16所示电路，t=0时开关S闭合，产生过渡过程。根据KVL，得回路电压方程为

而：

从而得微分方程：

或

此微分方程的通解为两个部分：一个是特解，一个是齐次方程式的解，即

特解可以是满足方程式的任何一个解，取t=时电路的稳定分量，即=。

微分方程的齐次方程式为：

令其通解为，代入齐次微分方程式可得特征方程式是：

所以，特征方程式的根为：

式中，其量纲为（秒），称为电路暂态过程的时间常数。

因此微分方程的通解

=

积分常数A需用初始条件来确定。在t=0时

= = A

由此可得：A=-

因此

上述利用微分方程进行求解分析一阶RL电路的暂态过程的方法称为经典法，经典法的分析步骤为：

（1）用基尔霍夫定律列出换路后电路的微分方程式。

（2） 解微分方程。

2、三要素法

通过经典分析法我们得到图3-16所示电路，暂态过程中电感电流为：

上述结果可归纳为 “三要素法”，式中只要知道稳态值，初始值和时间常数，这“三要素”，则便被唯一确定。它适合于任何含一个一阶RL电路在阶跃（或直流）信号激励下的过程分析。

要注意一阶RL电路时间常数为，一阶RL电路仅有一个电感元件，L即为电感元件的电感量，而R为换路后的电路中除去电感后所得无源二端口网络的等效电阻。

RL电路的零状态响应

当动态电路的初始储能为零(即初始状态为零)时，仅由外加激励产生的响应称作零状态响应。图3-17的一阶RL电路，设在开关S闭合前(t<0)，电感L无初始储能，当t=0时，开关S闭合。下面用“三要素法”分析电路的响应。

电感L无初始储能，即电感的初始电流=0。根据换路定律，电容电压的初始值==0。故电路为零状态响应

t=时，稳态值为换路后将电感看成短路的电流，因此

=

时间常数，根据“三要素法”

=

的变化曲线如图3-18（a）所示。按指数规律随时间增长而趋于稳态值。

=

的变化曲线如图3-18（b）所示。图中电感电压是正值，这是电流上升产生的反电势。

例3-8

电路如图3-19所示，换路前

已处于稳态，时开关闭合，试求换路后（）的。

解：时已处于稳态，

即电感的初始电流为换路前电感电流

==0

t→时，稳态值为换路后将电感看成短路的电流，因此

时间常数，而R为换路后的电路从电感看无源二端网络的等值电阻。

=15（1-）mA

RL电路的零输入响应

一阶RL电路中，如果在换路的瞬间电感元件已储存有能量，那么即使电路中无外加激励电源，换路后，电路中的电感元件将通过电路释放储能，在电路中产生响应，即零输入响应。

电路如图3-20所示，开关S原来断开，电路已经稳定。t=0开关S闭合，使电路产生过渡过程。此时，电感的初始电流为换路前电感的短路电流

=

根据换路定律，电感电流的初始值

==。

t→时，稳态值为换路后电感储能耗尽后的电流，因此=0

根据三要素法，得换路后电感的电流为：

时间常数

=

=-

及的波形如图3-21所示。图上电感的端电压为负值，这是由电流衰减产生的反电势。

例3-9

电路如图3-22所示，换路前已处于稳态，时开关断开，试求换路后（）的。

解：时已处于稳态，

即电感的初始电流为换路前电感的短路电流

根据换路定律，电感电流的初始值==3A。

t→时，稳态值为换路后电感储能耗尽后的电流，因此

=0

时间常数，而R为换路后的电路从电感端看无源二端网络的等值电阻。

=3A

--3A

RL电路的全响应

电路如图3-23所示，在换路前电路为稳定状态，t=0时闭合开关S。

时已处于稳态，即电感的初始电流为换路前电感的短路电流

根据换路定律，电感电流的初始值

=

t→时，稳态值为换路后电感的短路电流，因此

时间常数，而R为换路后的电路从电感看无源二端网络等的值电阻。

-

例3-10

电路如图3-24所示，

换路前已处于稳态，时开关闭合，试求换路后（）的及。

解：开关S闭合前电感L中的电流

开关S闭合后各电流初始值

。

开关S闭合后电感电流的稳态值

求电路时间常数

于是

=6V