逻辑代数的基本定理和规则

　　逻辑代数有三条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则。

　　任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。

　　例如，给定逻辑等式，若等式中的A都用代替，则该逻辑等式仍然成立，即

　　利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。这些等式可直接作为公式使用，无须另加证明。

　　若将逻辑函数F表达式中所有的“·”变成“ ”，“ ”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，并保持原函数中的运算顺序不变 ，则所得到的新的函数为原函数F的反函数。这一规则称为反演规则。

　　例如，已知函数，根据反演规则可得到

，

　　运用反演规则可以很方便地求出一个函数的反函数，但使用反演规则时应注意保持原函数式中运算的优先顺序不变。

　　例如，已知函数，根据反演规则得到的反函数应该是

　　而不应该是。

　　如果将逻辑函数F表达式中所有的“·”变成“ ”，“ ”变成“·”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，并保持原函数中的运算顺序不变，则所得到的新逻辑表达式称为函数F的对偶式，并记为F’。例如，

　　若，则 F′＝。

　　注意:求逻辑表达式的对偶式时，同样要保持原函数的运算顺序不变。

　　若两个逻辑函数表达式F和G相等，则其对偶式F′和G′也相等。这一规则称为对偶规则。根据对偶规则，当已证明某两个逻辑表达式相等时，便可知道它们的对偶式也相等。

三、复合逻辑

　　实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门等门电路。这些门电路输出和输入之间的逻辑关系可由3种基本运算构成的复合运算来描述，通常将这种逻辑关系称为复合逻辑，相应的逻辑门则称为复合门。

　　1．与非逻辑

　　与非逻辑是由与和非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函数表示为

　　逻辑功能：只要变量A、B、C、…中有一个为0，则函数F为1；仅当变量A、B、C、…全部为1时，函数F为0。实现与非逻辑的门电路称为“与非”门。

　　与非逻辑可以实现与、或、非3种基本逻辑。以两变量与非逻辑为例：

　　与：

　　或：

　　非：

　　由于与非逻辑可实现3种基本逻辑，所以，只要有了与非门便可组成实现各种逻辑功能的电路，通常称与非门为通用门。

　　2．或非逻辑

　　或非逻辑是由或和非两种逻辑复合形成的，可用逻辑函数表示为

　　

　　逻辑功能：只要变量A、B、C…中有一个为1，则函数F为0；仅当变量A、B、C…全部为0时，函数F为1。实现或非逻辑的门电路称为“或非”门。

　　或非逻辑也可以实现与、或、非3种基本逻辑。以两变量或非逻辑为例：

　　与：

　　或：

　　非：

　　同样，只要有了或非门，便可以组成实现各种逻辑功能的逻辑电路。所以，或非门也是一种通用门。　3．与或非逻辑

　　与或非逻辑是由3种基本逻辑复合形成的，逻辑函数表达式的形式为

　　逻辑功能：仅当每一个“与项”均为0时，才能使F为1，否则F为0。实现与或非功能的门电路称为“与或非”门。

　　显然，可以仅用与或非门去组成实现各种功能的逻辑电路，但实际应用中这样做一般很不经济，所以，与或非门主要用来实现与或非形式的函数。

　　4．异或逻辑

　　异或逻辑是一种两变量逻辑关系，可用逻辑函数表示为

　　逻辑功能：变量A、B取值相同，F为0；变量A、B取值相异，F为1。实现异或运算的逻辑门称为“异或”门。

　　根据异或逻辑的定义可知：

　　注意：在进行异或运算的多个变量中，若有奇数个变量的值为1，则运算结果为1；若有偶数个变量的值为1，则运算结果为0。

　　5．同或逻辑

　　同或逻辑也是一种两变量逻辑关系，其逻辑函数表达式为

　　式中，“⊙”为同或运算的运算符。

　　功能逻辑：变量A、B取值相同，F为1；变量A、B取值相异，F为0。实现同或运算的逻辑门称为“同或”门。

　　同或逻辑与异或逻辑的关系既互为相反，又互为对偶，即