逻辑函数的标准与或式和最简式

在数字电路中，用集成电路实现逻辑函数时，有些情况下用的时标准与或式，但一般情况下式函数的最简表达式，或某种简化形式。

一．标准与或表达式

在逻辑表达式中，每一个乘积项都具有标准形式，人们常称这种乘积项为最小项。

（一）最小项的概念

最小项是逻辑代数中一个重要概念。一般地说，对于n个变量，如果P是一个含有n个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这n个变量的一个最小项，n个变量一共有个最小项，因为每一个变量都有原变量，反变量两种形式，而变量个数是n。

（二）最小项的性质

最小项有下列性质：

1．每一个最小项都有一组也只有一组使其值为1的对应变量取值；

2．任意两个不同的最小项之积，值恒为0；

3．变量全部最小项之和，值恒为1。

（三）最小项使组成逻辑函数的基本单元

任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式――标准与或表达式，也即是说，任何逻辑函数，都是由函数中变量的若干最小项构成的。

逻辑函数最小项之和的形式――标准与或表达是是唯一的，也就是说，一个逻辑函数只有一个最小项之和的表达式。利用逻辑代数中的公式和定理，可以将任何逻辑函数展开或变换成标准与或表达式。

逻辑函数的标准与或表达式，也可以从真值表直接得到。只要在真值表中，挑出那些使函数值为1的变量取值，变量为1的写成原变量，为0的写成反变量，这样对应于使函数值为1的每一种取值，都可以写出一个乘积项，只要把这些乘积项加起来，所得到的就是函数的标准与或表达式。

（四）最小项的编号

为了叙述和书写的方便，通常都要对最小项进行编号。

编号的方法是：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号。

一个最小项，只要把原变量当成1，反变量当成0，便可直接得到它的编号。

在书写逻辑函数标准与或表达式时，常常用注有下标的小写m表示有关的最小项，甚至只用相应编号表示。

二．逻辑函数的最简表达

一个逻辑函数的最简表达式，常按照式中变量之间运算关系不同，分成最简与或式，最简与非－与非式，最简或与式，最简或非－或非式，最简与或非式等五种。

（一）最简与或式

定义：乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式，叫做最简与或表达式。

（二）最简与非－与非式

定义：非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非－与非式，叫做最简与非－与非表达式。注意，单个变量上面的非号不算，因为已将其当成反变量。

在最简与或表达式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，便可得到函数的最简与非－与非表达式。

（三）最简或与式

定义：括号个数最少，每个括号中相加的变量的个数也最少的或与式，叫做或与最简表达式。

在反函数最简或与表达式的基础上，取反，再用摩根定理去掉反号，便可得到函数的最简或与表达式。当然，在反函数的最简或与表达式的基础上，也可用反演规则，直接写出函数的最简或与式。

(四)最简或非－或非式

定义：非号个数最少，非号下面相加变量的个数也最少的或非－或非式，叫做最简或非－或非表达式。

在最简或与式的基础上，两次取反，再用摩根定理去掉下面的反号，所得到的便是函数的最简或非－或非表达式。

(五)最简与或非式

定义：在非号下面相加的乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或非式，叫做最简与或非表达式。

在最简或非－或非式的基础上，用摩根定理去掉大反号下面的小反号，便可得到函数的最简与或非表达式。当然，在反函数最简与或式基础上，直接取反亦可。