数制与编码

进位计数制

1、十进制

特点：1)基数10，逢十进一，即9 1=10

2)有0-9十个数字符号和小数点，数码K_i从0-9

3)不同数位上的数具有不同的权值

10ⁱ 10为数基 i表示相对小数点的位置

4)任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式

二进制

1)基数2，逢二进一，即1 1=10

2)有0-1两个数字符号和小数点，数码K_i从0-1

3)不同数位上的数具有不同的权值2ⁱ。

4)任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式

任意进制

1）基数R，逢R进一

2) 有R两个数字符号和小数点，数码K_i从0-R-1

3）不同数位上的数具有不同的权值R_i

4) 任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式

常用数制对照表

数制转换

十进制与非十进制间的转换

十进制转换成非十进制 非十进制转换成十进制

非十进制间的转换

二进制转换成八、十六进制 八、十六进制转换成二进制

十进制转换成二进制

整数部分的转换

除基取余法：用目标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位 K₀，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位K_n-1

例：(81)₁₀=(？)₂

得:(81)₁₀=(1010001)₂

小数部分的转换

乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2），第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止(即根据设备字长限制，取有限位的近似值,如2-5，只要求到小数点后第五位)

例： （0.65）₁₀ =( ? )₂ 要求精度为小数五位。

（0.65）₁₀ =( 0.10100 )₂

（81.65）₁₀ =( 1010001.10100 )₂

十进制二进制八、十六进制

非十进制转成十进制

方法:将相应进制的数按权展成多项式，按十进制求和

例:

二进制与八进制间的转换

从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数

例8: 11010111.0100111 B = 327.234 Q

以小数点为界

二进制与十六进制间的转

从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数

例9： 111011.10101 B = 3B.A8 H

以小数点为界

数值数据的表示

一、真值与机器数

真值：数符（ /-） 尾数（数值的绝对值）

机器数：符号（ /-）数码化 最高位：“0”表示“ ”“1”表示“-”

二、带符号二进制数的代码表示

1. 原码[X]_原：符号位＋尾数部分（真值）

符号位最高位：“0”表示“ ”“1”表示“-”

原码的性质:

“0”有两种表示形式[ 00…0]_原 = 000…0 而 [-00…0]_原 = 100…0

数值范围： （2^n-1-1）≤[X]_原≤-（2^n-1-1）如n = 8，原码范围01111111～11111111，数值范围为 127～-127

符号位后的尾数即为真值的数值

正数：尾数部分与真值形式相同

负数：尾数为真值数值部分按位取反

2. 反码[X]_反：符号位 尾数部分

反码的性质

“0”有两种表示形式[ 00…0]_反 = 000…0 而 [-00…0]_反 = 111…1

数值范围： （2^n-1-1）≤[X]_反≤-（2^n-1-1）如n = 8，反码范围01111111～10000000，数值范围为 127～-127

符号位后的尾数是否为真值取决于符号位

3、补码[X]_补：符号位 尾数部分

正数：尾数部分与真值同即[X]_补 = [X]_正

负数：尾数为真值数值部分按位取反加1即[X]_补 = [X]_反 1

补码的性质：

0”有一种表示形式[ 00…0]_补 = 000…0 而 [-00…0]_补 = 1 000…0

数值范围： (2^n-1-1）≤[X]_补≤-2^n-1如n = 8，补码范围01111111～10000000，数值范围为 127～-128

符号位后的尾数并不表示真值大小用补码进行运算时，两数补码之和等于两数和之补码，即[X1]_补 [X2]_补 = {X1 X2}_补（mod 2_n）

常用编码

编码:用一组二进制码按一定规则排列起来以表示数字、符号等特定信息。

常用的编码:自然二进制码 格雷码 二—十进制码 奇偶检验码 ASCII码等。

（一）自然二进制码及格雷码

自然二进制码:按自然数顺序排列的二进制码

常用四位自然二进制码，表示十进制数0--15，各位的权值依次为2³、2²、2¹、2⁰。

格雷码:1.任意两组相邻码之间只有一位不同。注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码

2.编码还具有反射性，因此又可称其为反射码

（二）二—十进制BCD码

有权码:用四位二进制代码对十进制数的各个数码进行编码。四位二进制数中的每一位都对应有固定的权

有权码表示十进制数符：D = b₃w₃ b₂w₂ b₁w₁ b₀w₀ c 偏权系数c = 0时为有权码。

1.8421BCD（NBCD）码

例：（276.8）₁₀ =（?）_NBCD

（276.8）₁₀ =（0010011101101000）_NBCD

2.其它有权码:2421、5421、5211

无权码

1 .余3码:余3码中有效的十组代码为0011～1100代表十进制数0--9

2 .其它无权码字符编码ASCII码：七位代码表示128个字符 96个为图形字符控制字符32个。