一阶电路的零状态响应

在动态元件初始储能为 0 的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。显然，这一响应与输入形式有关。

最简单最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。

1、RC 电路的零状态响应

如图，在 t ＝ 0 时刻，开关闭合，问 i 、u _R 、 u _C 如何变化？


物理过程分析：

根据以前知识，u_C ( 0 )＝u_C ( 0_－ )＝u _C ( 0 )＝0 。这就是说，在 t＝0 时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在 R上，那么电流 i (0 )＝U ₀ / R 。但是，电流一经流动，必然在电容极板上产生电荷堆积，q＝Cu _C > 0。然而，总电压 U₀ 不变，R 上压降必然减小，从而电流 i ＝ u_R/R 减小 …… 。最终，u_C →U₀，i →0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。

数学求解：

t > 0

这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。作如下代换后，求解：

结论：u_C 随时间呈指数增长，最终趋于 u_C。而 u_R 则相反， u_C ＋ u_R ＝ U₀ 。电流 i(t) 从 U₀ / R开始衰减，最终趋于0，快慢取决于 τ。

特别注意： 在整个充电过程中，电源提供的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系：

使人惊奇的是：不论 C 和 R 的取值有多大，充电过程中，电源提供的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被 R 消耗掉了，即充电效率仅有50％。

2、RL 电路的零状态响应

如图，在 t ＝ 0 时刻，开关闭合，直流电压源加于电路。问 i 、u _R 、 u _L 随时间如何变化？


物理过程分析：

根据以前知识，在有限电压前提下，电流不能跃变，i ( 0 ) ＝ i ( 0_－ )＝ i ( 0 ) ＝ 0 。也即：

u _R( 0 ) ＝ R i ( 0 )＝ 0

此刻， U ₀ 全部降落在 L 上，即：
u _L( 0 ) = U₀

换句话说，L 相当于开路 。

但是，电流一经流动，必然在 R 上产生压降，总电压 U₀不变，故 L 上压降必然减小。

最终，电流趋于最大值 u ₀ / R ，U ₀ 全部降在 R 上，U _L → 0 ，此时，电感相当于短路。电路达到另外一个稳态。

数学求解 t > 0 的电路响应：

运用高等数学中求解一阶线性非齐次方程的一种方法，先求得相应齐次方程的通解：

在 0～∞时间内，L 储备的磁能：