单位阶跃函数和单位冲激函数

分析动态电路中的电参量如电流、电压时，必须将其表示成一个随时间变化的函数。
实际上，在某个时刻，将开关闭合或断开，就可表示成一个函数。

1、Unit-step Function 单位阶跃函数

在 t ＝ t ₀ 时刻，将直流电压源 U ₀ 与电路接通，可表示成：

定义一个名为“单位阶跃函数”：

函数在 t ＝ 0 时，发生了跃变。但为了问题的方便，认定：
ε ( t ＝ 0_－ ) ＝ 0

ε ( t ＝ 0_＋ ) ＝ 1

显而易见：

只要令 t' ＝ t － t₀ 即可。

上述直流电源的开关例子可表示为：

u( t )＝ u0 ε ( t － t₀ )

一个幅度为 I₀ 的矩形脉冲，可以用单位阶跃函数表示成：

2、Unit-impulse Function 单位冲激函数

单位冲击函数是另一个奇异函数，用 δ (t) 表示，其定义为：

由定义可见， δ(t)只存在于 t ＝ 0 时刻，故有：

δ(t)的性质有：

δ(t) 与 ε(t) 的关系证明如下：

例如：如果在 t ＝ 0 时刻，将恒压源 U₀ 加到一个事先没有电荷的电容 C 上，则有：

得结论：
• 充电前后，电容电压发生跃变 0→U₀；

• 流过电容的电流为冲激电流 CU₀δ(t)；

• 电容极板上的电荷量的跃变是有限的，为冲激电流的强度 CU₀。

又例如，如果在 t ＝ 0 时刻，将恒流源 I₀ 加到一个事先没有电流的电感 L 上，则有：

得结论：
• 给电感接上恒流源前后，迫使电感电流发生跃变 0→I₀；

• 电感两端产生的感应电动势为冲激电压 LI₀δ(t)；

• 电感中的磁匝链数的跃变是有限的，为冲激电压的强度 LI₀。