随机误差的统计特性及其估算方法

一、 测量值的数学期望与标准差
随机误差的统计特性及减少方法
在测量中，随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。
多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。
1.数学期望
在相同条件下，用相同的仪器和方法，由同一测量者以同样细心的程度进行多次测量，称为等精密度测量。
设对某一被测量x 进行测量次数为n的等精密度测量，得到的测量值xi（i=1,2,…,n）为随机变量。其算术平均值为(也称为样本平均值):
，
当测量次数n→∞时，样本平均值 的极限称为测量值的数学期望：
，这里的Ex也称为总体平均值。
数学期望:反映其平均特性。其定义如下：
X为离散型随机变量：；
X为连续型随机变量： 。
2.算术平均值原理
（1）算术平均值的意义
当测量次数足够多时则近似认为，随机误差的数学期望等于0。即在仅有随机误差的情况下，当测量次数足够多时，测量值的平均值接近于真值。
则第i次测量得到的测得值xi与真值之间的绝对误差就等于随机误差，
随机误差的算术平均值：
在实际测量工作中，采用某些技术措施基本消除系统误差的影响，并且剔除粗大误差后，虽然有随机误差存在，但可以采用多次测量值的算术平均值作为最后的测量结果。
（2）剩余误差（又称残差）
各次测量值与其算术平均值之差，称为剩余误差。
对上式两边分别求和，有
上式表明：当n足够大时，残差得代数和等于零。
3.方差与标准差
方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。
随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望，记为D（X），即

例：两批电池的测量数据

1测量数据的分布曲线
可以看到两批电池的测量的平均数据相同，但是偏离平均值的结果是不同的，因此，只是期望不能表示出结果的差别，需要引入方差与标准差的概念。显然，第一批电池的测量数据的分散程度较第二批好，即第一批较第二批方差较小。
标准偏差定义为：，
标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。
标准差反映了测量的精密度， 小表示精密度高，测得值集中，大表示精密度低，测得值分散。
二、贝塞尔公式及其应用
1.随机误差的正态分布

1. 测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。
2. 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。

随机误差的概率密度函数为：，
测量数据X的概率密度函数为：；
随机误差的数学期望和方差为：


同样测量数据的数学期望E(X)＝，方差D(X)＝ ；

图2 随机误差和测量数据的正态分布曲线
从图2可以看到随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差。随机误差具有：①对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④抵偿性 四个特点。

图3 正态分布的标准偏差曲线
从图3可以看到，，即标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。
2.贝塞尔（Besell）公式

3．算术平均值的标准差
有限次测量数据的标准偏差的估计值；
算术平均值：；
残差：；
实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：

算术平均值标准偏差的估计值 ：
；
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小倍。原因是随机误差的抵偿性 。

三、均匀分布情况下的标准差

1.均匀分布的概率密度
;
2.均匀分布的数学期望与方差
数学期望为 ;
当 时, ；
标准差为

四、 非等精密度测量
1.权的概念
可靠程度大的测量结果在最后报告值中占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。表示这种可靠程度的量称为“权”，记做W。
i=1,2,3,…,m
2.加权平均值
，其中，m是非等精度测量数据的组数，N是等效后的次数。可以得出：