分数阶互感及变压器模型的特性分析

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分数阶微积分(Fractional Calculus)是在经典微积分理论基础上产生的用以描述任意阶次微分和积分的数学分支，并已成为多个科学工程领域的有力工具。文献[1]将分数阶微积分应用到经典电磁场中，提出了分数阶多极子的定义，并计算了其空间电势分布情况；文献[2]提出了一种分数阶正弦振荡器，并给出了设计步骤和实验模型；文献[3]提出了一种分数阶永磁同步电机，其控制策略更加简单灵活；文献[4]将分数阶微积分运算应用到遗传算法中，建立了分数阶传递函数模型；文献[5]应用分数阶微积分相关知识研究了反向热传导问题。文献[6]分析和总结了分数阶 RLC 并联电路的基本特征和规律；文献[7]讨论了分数阶 RLC 串联电路在电感、电容阶数相同时的复杂特性；文献[8]则研究了分数阶 LC 串联电路在电感、电容阶数不同时的幅值响应和相位响应。近几年来，无线电能传输得到了长足的发展，其系统中蕴含的电容与电感特性也是一个研究的热点。然而，目前涉及到磁能耦合和电能转换等方面系统的分数阶特性分析还较少。
本文首先对传统分数阶 LβCα 串、并联电路（以串联为例）的阻抗特性分析进行了介绍，得出了不同阻抗特性下，阻抗频率、幅值与电路阶次a 、b 的关系，作出其相频特性曲线。随后，沿用这种分析方法，分析了分数阶互感电路及变压器模型的阻抗矩阵参数的阻抗特性，作出其等效电路阻抗矩阵参数的相位与电感阶次的关系曲线，并得出了不同阻抗特性下，阻抗频率、幅值与电感阶次的关系。由于分数阶互感电路及变压器模型的电路参数增加了自感和互感的阶次，因此该模型的设计自由度更高，应用范围更广。