微分几何在机器人抓取中的应用（一）

微分几何基础

微分几何是现代数学领域中的重要分支，在理论探索和实际应用中都是重要学科。大名鼎鼎的高斯、欧拉是微分几何学派的创建者（是否记得多少公式和定理以这两人的名字命名）。20世纪是微分几何发展迅猛的100年，中国的数学家也做出过重要贡献，如陈省身、邱成桐（菲尔兹奖得主）。在计算机领域，微分几何是计算机图形学的基础，逼真酷炫的电脑游戏、电影等，都是在微分几何基础上的产业化。在机器人领域，核心控制系统需要合适的传感器（如相机）获取信息，并理解环境信息，属于计算机视觉的范畴；如需完成复杂动作，如抓取、放置等操作，则需要理解物体的几何信息，需要用几何特征描述来决策机器人要执行的动作。

完成机器人抓取需要如下两个过程：
·识别过程，属于视觉和深度学习的范畴，在此不再赘述。
·获取物体的三维空间描述，微分几何。
三维空间中的物体有哪些特征呢？

曲率

为理解曲率，首先回到二维平面。什么是曲率？简答说来，是几何体的不平坦程度。平面曲线的曲率定义为其密切圆的倒数。采用微分的定义，密切圆在很小的范围内同曲线重合。故平面中的圆所有点曲率一直，为半径的倒数，密切圆为其本身。直线曲率处处为0，因其密切圆半径无穷大。

曲线的密切圆和密切圆半径。曲率为半径的倒数。

三维空间中可用曲率描述曲面。包括两个主曲率、高斯曲率、平局曲率等。点的主曲率是通过此点曲线大和小曲率。高斯曲率为两个曲率之积，平均曲率则是两个主曲率之平均。

一些特殊情况，如负曲率，如马鞍型，常见使用：冷却塔，广州塔。

二次曲线（Conics）和二次曲面（Quadrics）

二次曲线也称圆锥曲线，其在数学上的定位为一个正圆锥面和一个平面的相切形成的曲线。其公司可表述为：

其中A，B，C不得皆等于0。故常见的圆、椭圆、抛物线等皆属于二次曲线。

二次曲面则是三维空间中 zui常见的曲面，其一般公式为：

常见的二次曲面包括：


·椭球（Ellipsoid），形如