复杂电路中的电阻计算口诀

1、口诀
复杂电路变简单，可将星角来变换。
变时一点要牢记，外接三点不能变。
星变角时求某边，两两积和除对面。
角变星时求某枝，两臂之积除和三。
2、说明
1. 概述
不能使用串并联的关系进行电阻计算的电路被称为复杂电路，最简单的复杂电路是图1所示的桥式电路。

图1 最简单的复杂电路——桥式电路
对于复杂电路，可先将其中连成星形（三个电阻有一个公共的连接点时，称为星形联结）的三个电阻（图1中的R1、R2和R3）转化成三角形电路（三个电阻依次连接成为一个闭合回路时，称为三角形联结），或将其中连成三角形的三个电阻（图1中的R1、R3和R4）转化成星形电路，这就是所谓的电阻星-三角变换问题。进行上述变换后，原有的复杂电路就会转变为简单电路，就可以用串并联的计算方法求出总电阻值。电阻星-三角变换的理论推导相对较复杂，在此不准备给出。下面只给出转换方法口诀和使用方法举例。
2. 口诀说明
设星形联结的三个电阻分别是R1、R2和R3，三角形联结的三个电阻分别是R12（对应星形连接的R1和R2）、R23（对应星形连接的R2和R3）和R31（对应星形连接的R3和R1），参照图2说明转换口诀的使用方法。

图2 电阻的星-三角变换电路
（1）当由星形联结转换成三角形联结时，口诀为“星变角时求某边，两两积和除对面”。这里的“两两”是指星形联结时的每两个电阻，“两两积和”即为（R1R2 R2R3 R3R1）；“对面”是指与转换成三角形联结后的一个电阻相对的原星形联结的那个电阻，如图2中R12的“对面”应是R3。由此可得到由星形联结转换成三角形联结时的三个电阻计算公式为
R12＝（R1R2 R2R3 R3R1）/R3
R23＝（R1R2 R2R3 R3R1）/R1
R31＝（R1R2 R2R3 R3R1）/R2
（2）当由三角形联结转换成星形联结时，口诀为“角变星时求某枝，两臂之积除和三”。这里的“两臂”是指与转换成星形联结的一个电阻（后面称为“一枝”，例如R1）同一个顶点的三角形联结时的两个电阻（例如对应R1的两臂是R12和R31），“和三”即为三角形联结时三个电阻之和，即（R12 R23 R31）。由此可得到由三角形联结转换成星形联结时的三个电阻计算公式为
R1＝R12R31 /（R12 R23 R31）
R2＝R12R23 /（R12 R23 R31）
R3＝R23R31 /（R12 R23 R31）
3、计算举例
以图3a所示的电路为例，用两种转换方法求取a、b两点之间的电阻Rab的阻值。

a) 由星转换成角步骤1 b) 由星转换成角步骤2

c) 由角转换成星步骤1 d) 由角转换成星步骤2
图3 用星-三角形变换的方法求桥式电路的电阻
解：
（1）用由星形联结转换成三角形联结的方法
第一步：找出R1、R2和R3组成的星形联结与其他电路连接的三个点e、f、d。以这三个点为三角形联结的三个顶点，画出三个电阻R12、R23和 R31（最好用与原图颜色不同的笔）。如图3a所示。这一步是口诀中“变时一定要牢记，外接三点不能变”的含义。
第二步：按口诀“星变角时求某边，两两积和除对面”分别求出R12、R23和 R31。
为了计算方便，先求出口诀中所提到的“两两积和”，即：（R1R2 R2R3 R3R1）,再求R12、R23和 R31。
R1R2 R2R3 R3R1＝1×2 2×3 3×1=11
R12＝（R1R2 R2R3 R3R1）/R3=11/3=3.67Ω
R23＝（R1R2 R2R3 R3R1）/R1=11/1=11 Ω
R31＝（R1R2 R2R3 R3R1）/R2=11/2=5.5 Ω
第三步：将原有的R1、R2和R3去掉，即成了如图3b所示的只有串联和并联的简单电路。由此可以求得（计算过程从略）：
Rab≈2.24Ω
（2）用由三角形联结转换成星形联结的方法
第一步：找出R1、R3和R4组成三角形联结与其他电路连接的三个点e、c、d。以这三个点为星形联结的三个顶点，画出三个电阻R6、R7和 R8，如图3c所示。这一步是口诀中“变时一定要牢记，外接三点不能变”的含义。
第二步：按口诀“角变星时求某枝，两臂之积除和三”分别求出R6、R7和 R8。
为了计算方便，先求出口诀中所提到的“和三”，即（R1 R3 R4），再求R6、R7和 R8。
R1 R3 R4＝1 3 4＝8Ω
R6＝R1R4 /（R1 R3 R4）＝1×4/8＝0.5Ω
R7＝R1R3 /（R1 R3 R4）＝1×3/8＝0.375Ω
R8＝R3R4 /（R1 R3 R4）＝3×4/8＝1.5Ω
第三步：将原有的R1、R3和R4去掉，既成为了如图3d所示的只有串联和并联的简单电路。由此可以求得Rab≈2.24Ω（计算过程从略）。
从上述计算可知，两种方法所求得的结果相等，也就是说是等效的。在具体使用中，可根据情况选择其中的一种。