欧姆定律和焦尔定律

三、欧姆定律微分形式

经典金属电子论：金属导电的宏观规律是由它的微观结构和导电机制所决定的。下面我们从经典力学和经典统计学的角度对金属导电的二个规律作一个粗糙的解释。导体内无电场时，大量自由电子无规则热运动的统计结果是不形成宏观电流是；导体中加了电场以后，自由电子的总速度是由热运动速度和定向运动速度两部分速度组成。

自由电子平均定向运动速度（漂移速度）,不是对某一单个电子而言的，而是对大量电子求统计平均得到的物理量。例如，自由电子在稳恒电场作用下运动，与晶体点阵碰撞后，定向运动速度。电子在两次碰撞之间的定向运动部分就是一个初速为零的匀加速直线运动（）。

下面分三步找关系：

1、

设两次碰撞之间的平均路程（平均自由程）为，由于热运动平均速度远大于定向平均速度，故近似有：

2、设稳恒电流I沿轴线方向均匀流过圆柱形均匀导体,所有自由电子以同一平均定向速度u运动,单位体积中自由电子数为n，则该柱体内共有nusΔt个自由电子，在时间Δt内全部通过横截面s。

∴

3、由上面得到：

令

则：

此式反映了电流密度j与引起这一电流密度的外因（E）及内因（σ）之间的关系，与欧姆定律I=GU（欧姆定律的积分形式）类似，称为欧姆定律的微分形式，两种形式是等价的，彼此可以互推。

简单说明：

它的物理意义是：电荷的定向运动是电场作用的结果，导体中某点的电流密度j与该点的电场强度E成正比。这一规律虽然是用经典理论在特殊情况下推导出来的，但是理论和实验都证明，它对非稳恒情况的导体也成立。

四、焦尔定律——能量守恒定律的体现

英国物理学家焦耳通过实验总结出如下规律：电流通过导体时放出的热量Q与电流强度I的平方，导体的电阻R及通电的时间t成正比，当各个物理量均采用国际单位制时，Q=I²Rt，Q的单位为焦耳。

电流通过导体时放出焦耳热的现象可从微观上作定性分析与阐释。自由电子与原子实通过碰撞交换能量，有电场时，把定向运动的动能传递给原子实，加剧了原子实的热振动，这在宏观上表现为导体的温度升高，亦即金属导体放出热量。由此可见，焦耳热实际上是电场力的功转化而成的。

可以证明电场力的功正好等于导体在相同时间内所放出的焦耳热.

设导体中的电流强度为I，则时间t内通过导体任一横截面的电荷量为q=It，或者说有这麽多电量从导体的一端移至另一端，故电功为A=qU=IUt,对纯电阻电路U=IR,∴A=I²Rt，A=Q这正是能量守恒定律所要求的结果。

假若电路是由导线和直流电动机组成的，电场力所做的功一小部分转化为热能，由导线释放，大部分转化为机械能，由电动机对外做机械功。此时从能量守恒定律就不能得出A=Q，但Q=I²Rt(实验总结)与A=IUt(理论计算结果)仍然成立。对于纯电阻电路，两者等价；对于非纯电阻电路，两者不等价（不能得出A=Q ）。

电功率：单位时间内电场力所做的功称为电功率，用P表示。

注意：P=UI与P=I²R或，是有区别的。UI是一段电路所消耗的全部电功率，而I²R或只是由于电阻发热而消耗的电功率。当电路中只有电阻元件时，消耗的电能全部转化成热，这两种功率是一样的。但是，当电路中除了电阻外还有电动机、电解槽等其它转化能量的装置时，这两种功率并不相等，必须分别计算。