数制和编码

一 数制
1. 含义. 表示数大小的计数方法
基数(底数)----R进制的R就是基数
数字符号------R进制有R个数字符号0,1,2,…(R-1)
2. 数的表示方法
(1) 位置表示法 (数字符号和小数点的一定排列表示数的大小)
(129.5)D 权,权系数
(N)10=(d_n-1,d_n-2,…d₁d₀.d_-1…d_-m)
(N)R=(r_n-1,r_n-2,…r₁r₀.r_-1…r_-m)
(2) 多项式的表示法(把数字符号和对应的权系数构成积之和表达式)
(N)10=(d_n-1·10^n-1 d_n-2·10^n-2 …d₀·10⁰ d_-1·10^-1 … d_-m·10^-m)
(N)R=(r_n-1·10^n-1 r_n-2·10^n-2 … r₀·10⁰ r_-1·10^-1 … r_-n·10^-n)
3. 常用计数制

4．数制转换
含义. 同一个数从一种计数制变换为另一种计数制的表示形式。
（1） 2进制→10进制-----采用多项式替代法（把二进制用多项式在十进制中表示）
（1101．1）2=(1·23 1·22 1·20 1·2-1)10=(13.5)10
（2） 10进制→2进制----采用基数除乘法整数部分用基数除法，小数部分用基数乘法
（47.6）10=（101111.1001)2

2|_47__________1 2|_21_____ 1 2|_11_____1 2|_5_____1 2|_2____0 2|_1___1 0

(LSB) (MSB)

0.6 × 2 ---------- [1].2 × 2 ---------- [0].4 × 2 --------- [0].8 × 2 ----------- [1].6

MSB LSB

（3） R1进制------------→10进制----------→R2进制（R1和R2非10）
　　　　 　　多项式替代法　　　 　基数除乘法

（4） 2^K进制之间的互相转换
　　　2¹---2进制 0 1
　　　2²---4进制 00 01 10 11
　　　2³---8进制 000 001 010 011 100 101 110 111
　　　　.
　　　　.
　　　　.
（101011）₂=（223）₄=（53）₈=（2B）₁₆
（11011.1）₂=（123.2）₄=（33.4）₈=（1B.8）₁₆

例题：
（7F3.9)₁₆=（0111011110011.1001）₂=（133303.21）₄
比较下列数的大小：（1.1)₂ （1.1)₄ （1.1)₈ （1.1)₁₀（1.1)₁₅ （1.1)₁₆

二．编码

1.含义：同一套符号按一定规则编排起来，用以表示信息（数字或字符）的过程
数字：1，2，…9，0
字母：a,…z,A,…Z
算符： ，-，*，/，=，〈，[，]，（，），…
码位，码元，二进制中可用 bite表示
（1000）₂（20）₄（10）₈
4个码位 2个 2个

2． 常用编码
①二进制编码------用若干二进制数表示信息的过程
a． 自然二进制码------用二进制数N位 从全0开始，逐个加1，自至全1来表示信息

优点：简便，清晰
缺点：可靠性差，如011100(相当于十进制数3变化到4)要变化三位码元，很可能产生瞬时错误码！
b． 二进制循环码（GRAY码，格雷码）

优点：可靠性编码
缺点：不容易记忆(利用反射特性)
相邻码——表示相邻十进制数的编码
相邻码间距——码元取值不同的总数

②二----十进制编码（BCD码，BINGRY，LODID）
用若干位二进制数来表示十进制数的编码-----用四位二进制数
a. 1有权BCD码
（i）8421BCD码 十进制

D=b₃*W₃ b₂*W₂ b₁*W₁ b₀*W₀ C
（ii）5421码

有些编码形式不是唯一的，因此无效码（非法码）也不一样
b. 无权BCD码
（i）BCD格雷码（循环码）

十进制	G3	G2	G1	G0
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	1
3	0	0	1	0
4	0	1	1	0
5	0	1	1	1
6	0	1	0	1
7	0	1	0	0
8	1	1	0	0
					为与0000循环改为1000