数制及其转换

数制是人们对数量计数的一种统计规则。在日常生活中经常遇到的是十进制。在数字的系统中，广泛采用的是二进制。

数值规定了数字量每一位的组成方法和从低位到高位的进位方法，任意进制的数字量均可以表示成以下的形式，即

(1)

式（1）成为数制的位权和表达式。式中，k_i称为第i位的系数，不同进制的数字量其k_i的取值不同；N称为计数的基数，不同进制的数字量N的取值也不同；Nⁱ称为第i位的权。

1、十进制

十进制数的计数法则是：计数的基数N等于10，每一位的系数k_i用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中的一个数来表示。从低位到高位的进位法则是“逢十进一”。根据位权和公式，任何一个十进制数均可表示为

(2)

例如：(143.65)_D=1×10² 4×10¹ 3×10⁰ 6×10^-1 5×10^-2

上式的左边表示一个十进制数，括号的下脚标D（Decimal）代表十进制数，也可用下脚标10来表示，还可以省略。

2、二进制

二进制的计数法则是：计数的基数N等于2，每一位的系数k_i用0或1这两个数字中的一个来表示。从低位到高位的进位法则是“逢二进一”。根据位权和公式，任何一个二进制数均可以表示为

(3)

例如：(10011.11)_B=1×2⁴ 0×2³ 0×2² 1×2¹ 1×2⁰ 1×2^-1 1×2^-2

上式的左边表示一个二进制数，括号的下脚标B（Binary）代表二进制数，也可以用下脚标2来表示。右边是该二进制数位权和的表达式，因而表达式中的2⁴、2³、2²等是根据十进制数的运算法则来计算的，所以该表达式也是二进制数和十进制数之间转换运算的方法，利用这种关系可以实现将二进制数转化成十进制数的运算。

例如：(10011.11)_B=1×2⁴ 0×2³ 0×2² 1×2¹ 1×2⁰ 1×2^-1 1×2^-2=(19.75)_D

3、十六进制

为了解决二进制数不容易阅读和记忆的问题，人们引入了十六进制数。十六进制数的计数法则是：计数的基数N是16，每一位的系数是0~9、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）这16个数字中的一个来表示，从低位到高位的进位法则是“逢十六进一”。根据位权和公式，任何一个十六进制数均可表示成

(4)

例如：(3D.BE)_H=3×16¹ 13×16⁰ 11×16^-1 14×16^-2

上式的左边表示一个十六进制数，括号的下脚标H（Hexadecimal）代表十六进制数，也可以用下脚标16来表示。右边是该十六进制数位权和的表达式，因而表达式中的16¹、16⁰、16^-1等是根据十进制数的运算法则来计算的，所以该表达式也是十六进制数和十进制数之间转换运算的方法，利用这种关系可以实现将十六进制数转化成十进制数的运算。

例如：(3D.BE)_H=3×16¹ 13×16⁰ 11×16^-1 14×16^-2=(61.74)_D

1、二进制、十六进制数转换为十进制数

将一个二进制、八进制或十六进制数转换成十进制数，只要写出该进制数的按权展开式，然后按十进制数的计数规律相加，就可得到所求的十进制数。

例如：将二进制数(1101)_B转换成十进制数。

解(1101)_B=1×2³ 1×2² 0×2¹ 1×2⁰=(13)_D

例如：将十六进制数(5D4)_H转换成十进制数。

解(5D4)_H=5×16² 13×16¹ 4×16⁰=(1492)_D

2、十进制正整数转换为二进制、八进制、十六进制数

在将十进制数转换成二进制、八进制、十六进制数时,分别采用“除2取余法”、 “除16取余法”，便可求得二、十六进制数的各位数码K_n-1，K_n-2，…，K₁，K₀。

例如：将十进制数(35)_D转换为二进制数。

解：采用“除2取余法”

最后得： (35)_D=(K₅ K₄ K₃ K₂ K₁ K₀)_B=(100011)_B

例如：将十进制数(139)_D转换成十六进制数。

最后得：(139)_D=(8B)_H

3、十六进制数与二进制数的相互转换

2⁴=16，四位二进制数共有16种组合状态，可以分别用来表示十六进制的16个数码。这样，每一位十六进制数正好相当于四位二进制数。反过来，每四位二进制数等值为一位十六进制数。

例如：将二进制数(110100111)_B转换为十六进制数。

解：(110100111)_B=(1A7)_H