随机误差的分布规律

　　假定对某个被测参量进行等精度（测量误差影响程度相同）重复测量n次，其测量示值分别为X₁、X₂、…，X_i、…，X_n、则各次测量的测量误差，即随机误差（假定已消除系统误差）分别为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）

　　式中，X₀为真值。

　　如果以偏差幅值（有正负）为横坐标，以偏差出现的次数为纵坐标作图。可以看出，随机误差整体上均具有下列统计特性：

　　（1）有界性 即各个随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限；

　　（2）单峰性 即绝对值（幅度）小的随机误差总要比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大；

　　（3）对称性 （幅度）等值而符号相反的随机误差出现的概率接近相等；

　　（4）抵偿性 当等精度重复测量次数n→∞时，所有测量值的随机误差的代数和为零，即

　　所以，在等精度重复测量次数足够大时，其算术平均值就是其真值X₀较理想的替代值。

　　大量的试验结果还表明：测量值的偏差——当没有起决定性影响的误差源（项）存在时，随机误差的分布规律多数都服从正态分布；当有起决定性影响的误差源存在，还会出现诸如均匀分布、三角分布、梯形分布、t分布等。下面对正态分布、均匀分布作简要介绍。

　　1．正态分布

　　高斯于1795年提出的连续型正态分布随机变量并的概率密度函数表达式为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

　　式中，μ为随机变量的数学期望值；e为自然对数的底；σ为随机变量x的均方根差或称标准偏差（简称标准差）；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）

　　σ²为随机变量的方差，数学上通常用D表示；n为随机变量的个数。

　　其中，μ和σ是决定正态分布曲线的两个特征参数。其中μ影响随机变量分布的集中位置，或称其正态分布的位置特征参数；σ表征随机变量的分散程度，故称为正态分布的离散特征参数。μ值改变，σ值保持不变，正态分布曲线的形状保持不变而位置根据μ值改变而沿横坐标移动，如图2所示。当μ值不变，σ值改变，则正态分布曲线的位置不变，但形状改变，如图2所示。σ值变小，则正态分布曲线变得尖锐，表示随机变量的离散性变小；σ值变大，则正态分布曲线变平缓，表示随机变量的离散性变大。

图1　μ对正态分布的影响示意图

图2　σ对正态分布的影响示意图

　　在已经消除系统误差条件下的等精度重复测量中，当测量数据足够多时，测量的随机误差大都呈正态分布，因而完全可以参照式（1）的高斯方程对测量随机误差进行比较分析。

　　分析测量随机误差时，标准差d表征测量数据离散程度。σ值愈小，则测量数据愈集中，概率密度曲线愈陡峭，测量数据的精密度越高；反之，σ值愈大，测量数据愈分散，概率密度曲线愈平坦，测量数据的精密度越低。

　　2．均匀分布

　　在测试和计量中，随机误差有时还会服从非正态的均匀分布等。从误差分布图上看，均匀分布的特点是：在某一区域内，随机误差出现的概率处处相等，而在该区域外随机误差出现的概率为零。均匀分布的概率密度函数φ（x）为

　　　　　　（3）

　　式中a为随机误差x的极限值。

　　均匀分布的随机误差概率密度函数的图形呈直线，如图3所示。

图3　均匀分布曲线

　　较常见的均匀分布随机误差通常是因指示式仪器度盘、标尺刻度误差造成的误差，检测仪器最小分辨力限制引起的误差，数字仪表或屏幕显示测量系统产生的量化（±1）误差，智能化检测仪器在数字信号处理中存在的舍人误差等。此外，对于一些只知道误差出现的大致范围，而难以确切知道其分布规律的误差，在处理时亦经常按均匀分布误差对待。