电路相量法

相量法是分析研究正弦电流电路稳定状态的一种简单易行的方法。它是在 数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。

1、 问题的提出

在上图所示的电路中，根据KVL，列写微分方程如下

当激励u(t)是正弦量时，u_C(t)及i_L(t)均为同频率的正弦量。这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结论也成立。工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间仅在有效值（或幅值）、初相上存在差异和联系，这种"差异和联系"正是正弦稳态分析求解中的关键问题。

结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用

2、 正弦量的相量表示：

构造一个复函数，（无任何物理意义）

取该复函数的实部，，为一个正弦量，有物理意义。

结论：任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。如

复函数F(t) 还可以写成，其中为复常数。F(t) 包含了正弦量的三要素：幅值（此处为有效值）I、 初相Y 、角频率w。有如下关系

同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：

正弦量除可用上述的相量式表示以外，还可在复平面上用相量图形式表示。如图所示。

注意

相量的模表示正弦量的有效值；

相量的辐角表示正弦量的初相位。

例 已知，试用相量表示i和u。

解：

3、相量法的应用

① 同频率正弦量的加减

所以相量关系为：

结论：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。

同频率的正弦量相加减，还可以借助相量图进行计算。令，，下面用相量图求解。图(a)为平行四边形法则求解，图(b)为三角形法则求解。

② 正弦量的微分、积分运算

令

微分运算：

积分运算：

所以；

相量法的优点：

① 把时域问题变为复数问题；

② 把微积分方程的运算变为复数方程运算；

③ 可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。

注意

①正弦量<=>相量

时域<=>频域

正弦波形图<=>相量图

②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路；

③相量法用来分析正弦稳态电路。