二阶电路的零输入响应

设 ， 。 t=0 时开关拨到位置 2 ，现讨论 时响应的变化规律。

时， ， 。

电路换路后，由 KVL 得

这是二阶齐次线性微分方程，其特征方程为

特征根为

微分方程的解有如下形式：

其中， A1 、 A2 是待定的常数，可由电路的初始状态确定，

得

，

所以， RLC 串联电路的零输入响应为

结 论

RLC 串联电路的零输入响应的变化规律取决于两个特征根 ，特征根 只与电路的结构和参数有关，而与外加激励和电路的初始状态无关，特征根是决定动态电路响应变化规律的重要参数，也称为电路的固有频率（ natural frequency ）。

称为 RLC 串联电路的衰减系数（ attenuation factor ）， 称为 RLC 串联电路的谐振角频率（ resonant angular frequency ）。

解：（ 1 ）在 时刻，电路已处于稳态，所以电容相当于开路，则

又电感的储能为 0 ，则

因为

，

所以 ，欠阻尼，零输入响应为衰减振荡放电。又

，

因此，零输入响应为

（ ）

（ 2 ）欲使电路在过阻尼情况下放电，则 ，即

所以，

一、 RLC 串联电路的零输入响应 电路如图 6.1-1 所示， 时，开关 S 处于位置 1 ，且电路已处于稳态，

1 、过阻尼情况（ over-damped case ）

2 、欠阻尼情况（ under-damped case ）

3 、无阻尼情况（ undamped case ） 无 阻 尼 （等幅振荡） 当 ，电路中只有电容和电感时，称为无损耗电路。衰减系数 ， ， ，特征根 为一对共轭虚数。 正弦波的振幅不会衰减，作等幅振荡（ unattenuated oscillation ）。

4 、临界阻尼情况（ critically damped case ） 临 界 阻 尼 （非振荡放电） 当 ，即 时， ，为两个相等的负实数。

RLC 串联电路的零输入响应 对于 RLC 串联电路，求出衰减系数 和谐振角频率 ，判断电路零输入响应的性质： 过阻尼、临界阻尼………非振荡放电 欠阻尼………衰减振荡放电 无阻尼………等幅振荡 例 6.1-1 图 6.1-2 所示电路中， ， ， ， 时开关 S 处于位置 1 ，且电路已处于稳态，电感的储能为 0 。 时开关拨到位置 2 。（ 1 ）求 时的 和 ；（ 2 ）若 、 不变，欲使电路在过阻尼情况下放电，问电阻 应为多少？

例 6.1-2 图 6.1-3 所示电路中， ， ， 时电路已处于稳态， t=0 时开关打开，求 时的 。

解： 时电路已处于稳态，所以把电容当开路处理，把电感当短路处理，并由换路定则得电路的初始状态，

时，开关打开，这时的电路相当于零输入的 RLC 串联电路，其中 ，则

，

所以 ，过阻尼，零输入响应为非振荡放电，特征根为

故

利用初始状态确定 和 ，

解得

，

因此，

（ ）

二、 GCL 并联电路的零输入响应

图 6.1-4 所示电路是 GCL 并联电路， 时开关处于位置 1 ，电路已达到稳态， 时开关拨到为位置 2 。设 ， ，现讨论 时响应的变化规律。

特征根为

令 ，称为 GCL 并联电路的衰减系数， ，称为 GCL 并联电路的谐振角频率，则

GCL 电路的零输入响应为

GCL 并联电路的零输入响应

对于 GCL 并联电路，求出衰减系数 和谐振角频率 ，判断电路零输入响应的性质：

当 ，即 时，过阻尼………非振荡放电

当 ，即 时，欠阻尼………衰减振荡放电

当 ，即 时，临界阻尼………非振荡放电

当 ，即 时，无阻尼………等幅振荡