输电导线悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系

　　通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：
　　（1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。

　　（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。

　　1.悬链线方程
　　为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。
　　如图1所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
　　
　　图1　导线悬链线及坐标系
　　同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
　　我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图1所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T_x=σ_xS，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T₀=σ₀S，T₀为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL_x， 其中L_x为OD段导线的弧长。
　　将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2所示，
　　
　　图2　导线受力情况
　　由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
　　垂直方向分力G=T_xsinα=gSL_x;水平方向分为T₀=T_xcosα=σ₀S。其中σ₀、T₀为导线最低点的应力和张力，σ_x、T_x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为：
　　　(1)
　　由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。
　　式（1）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L_x消去，因此，将式对x微分得：
　　
　　（微分学中弧长微分公式为dS²=(dx)² (dy)²）将上式移项整理后，两端进行积分
　　
　　这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有：
　　　（2）
　　再进行分离变量积分，有
　　
　　于是，导线任一点D的纵坐标为：
　　　（3）
　　式（2）是悬链方程的普通形式，其中C₁和C₂为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：
　　x=0, dy/dx=tgα=0
　　代入式（2－11）则C₁＝0，将x=0,y=0,C₁＝ 0 代入式（2），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为：
　　　（4）
　　式中σ₀—水平应力(即导线最低点应力)，MPa;
　　　　g—导线的比载，N/m.mm²。
　　当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可以得到不同的公式。若式（2－13）中x代表档距的时候，则y即为导线的弧垂，因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称为精确式。
　　实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下：
　　由式,对其求导得：
　　
　　变换为,为找原函数进行积分,
　　由积分式两边积分，
　　则有：变为指数形式为
　　这是个隐函数，为解出，对应有式：
　　将两式相减则有：
　　因为双曲正弦函数为：
　　双曲余弦函数为：
　　又因为：
　　最后积分有：
　　定积分常数,因在坐标原点则，其结果是一样的，即
　　在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式（2－13）展开成无穷级数（在x=0点），可得：
　　　（5）
　　2．曲线弧长（或弧长方程）
　　导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。将式（2－11）代入式（2－10）中，且积分常数C₁＝0，得导线的弧长方程为
　　　（6）
　　根据式（2－15）可以计算一个档距内导线的曲线长度（也叫一档线长）将弧长方程式（7）展开成无穷级数可得：
　　　（7）