电工基础：RC电路的零输入响应（41）
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电感元件和电容元件在电路中是非常常见的，它们在电路中的接法不同，以致它们发挥的作用不同。电容元件经常作为过电压保护元件并联在电路中，它主要利用电容元件在换路瞬间电压不能发生跃变这一原理进行工作的，这其实是一个电容的放电过程。
上一次技成培训网给大家分享的是动态电路的初始值的计算，这一次我们继续学习它的过渡过程。分析动态电路的过渡过程的方法之一是：根据KCL、KVL和支路的VCR建立描述电路的方程，一般是已知激励(电源电压或电流)，然后求解微分方程，从而得到电路的响应(电压或电流)。这种方法称为经典法。由于电路的激励和响应都是时间的函数，所以这种分析也是时域分析。
我们先来学习RC电路的零输入响应。所谓零输入响应，是指动态电路中无外施激励电源，输入信号为零，仅由动态元件(电感元件或电容元件)的初始储能所产生的响应。下图41-1所示的RC电路中，换路前，电容C已充电，其电压uC=U。
图41-1
图41-1中的电流、电容电压与电阻电压都是用小写，这是表示它们是瞬时值。而i=-CduC/dt中的负号，是因为电容电压和电流是非关联参考方向，这也表明电容是放电的。根据KVL和VCR建立方程，可以得到一个一阶齐次微分方程。所谓一阶，是指方程中关于uC的导数是一阶导数(duC/dt)，在电路中表现为仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的电路;齐次在这里指的是等号右边为零。关于微分方程，大家也不必深究，知道是什么就行，我们要知道的是这个方程是怎样建立起来的。
图41-1中关于RC动态电路的零输入响应所建立的一阶齐次微分方程，其初始条件uC(0 )=uC(0-)=U，即换路前后(开关闭合)瞬间电容电压uC不能突变，为电容初始电压U。微分方程的计算过程我们不用管，直接引用它的通解公式，即令方程的通解uC =Aept，如图41-2所示。将该通解代入图41-1的方程中，得到其特征方程，特征根为p=-1/RC。然后根据uC(0 )=uC(0-)=U，令t=0，代入通解公式uC=Aept中可以得到积分常数A=uC(0 )=U。这样，求得满足初始值的微分方程的解如图41-2所示。式(3)就是电容元件放电过程中的电压uC的表达式。
图41-2
根据电容元件放电过程中的电压uC的表达式和KVL、VCR，可以得出，电容的电流与电阻的电压如图41-3所示。
图41-3
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