电气新手必知：正弦量的相量表示（专业电气学姐带你学三十）

时间：2023-06-27来源：佚名

回顾上一次的学习，如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，且一个周期内其(píng)均值为零，这样的电路称为正弦交流电路。而这些按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。而我们在学习正弦量的时候，基本都是采用瞬时表达式和波形图的方式进行分析。

想象一下，如果两个正弦量相加减，我们是通过它们的波形图进行相加减，把两个正弦量的波形沿时间轴分为无数个点，一点一点的相加减，这个过程可想而知是多么的繁琐，另外，如果是把它们的瞬时表达式相加减，这就要通过三角函数的转换，也不算方便，而相量，就为正弦量的运算带来了极大的便利。

相量法是分析正弦交流电路的一种简单易行的方法。它是结合数学理论与电路理论而建立起来的一种系统方法。正弦量的相量表示法是指：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。矢量，简单来说就是既有大小又有方向的量。

图30-1

如上图30-1所示，设正弦量u=U_msin(ωt Ψ),其波形图如图右所示，以该正弦量的幅值U_m作为旋转矢量的长度（即虚圆的半径），初相角Ψ作为旋转矢量与横轴的夹角并以此作为起点，使旋转矢量以角速度ω按逆时针方向在直角坐标轴上旋转，对于某一时刻ωt₁，该旋转有向线段在纵轴上的投影（虚线与y轴的交点）显然就是对应时刻正弦量的瞬时值，这就是正弦量的相量表示。

另外，回顾上次我们所学的周期与角速度的关系ωT=2π，以图30-1为例，想象一下，当旋转矢量旋转一周期（2π）后，我们可以很快发现，它又回到了初始的位置，对应波形图，此时的正弦量的值恰好也是等于其初始时的值，不同的只不过是时间罢了。

如下图30-2所示，正弦量u、i等的相量书写方式是在对应电量的大写字母U（或U_m）、I（或I_m）上加“·”（点）符号表示，若正弦量的幅度用大值表示，则对应电量的大写字母应加下角标“m”。在实际应用中，正弦量的幅度一般都是采用有效值表示，即没有下角标“m”。相量中的“·”（点）号即是表示与正弦量相关的复数身份，以区别于一般的复数，同时也表示区别于正弦量的幅值或有效值。相量符号本身就包含幅度和相位信息。

电气新手必知：正弦量的相量表示（专业电气学姐带你学三十）
图30-2

正弦量的相量表示，实质上就是用复数表示正弦量，即正弦量的对应相量是一个复数。所以，复数及其运算是应用相量法的数学基础，我们要懂得相量，就必须要懂得复数。所谓复数，实质上是由实数和虚数组成的一对数，实数包括有理数和无理数。

一个复数有多种表示形式。复数F的代数形式为F =a jb，其中j为虚数单位。虚数理解起来可能比较困难，但这并不影响我们学习复数，在此我也不对虚数展开讲解。

另外，j还可以表示为旋转90°因子±j，即±j=cos90°±sin90°。j作为旋转90°因子在与有功和无功、电阻和电抗、容抗和感抗相关正弦交流电路的相量分析中带来很大的便利。某相量乘以 j，就是将该相量逆时针旋转90°，某相量乘以-j，就是将该相量顺时针旋转90°。

电气新手必知：正弦量的相量表示（专业电气学姐带你学三十）

图30-3

复数F的代数形式F =a jb中，a称为复数F的实部，b称为复数F的虚部。复数在复(píng)面上是一个坐标点，常用原点至该点的向量表示，如图30-3所示,其中r为复数的模（值），表示为|F |，θ为复数的辐角，即θ=argF ，θ可以用弧度或度表示。

在这里说明一下，向量和相量是不同的，相量是电子工程学中用以表示正弦量大小和相位的矢量；而向量是在数学中表示具有大小和方向的量，与之对应的没有方向的数量叫标量。

上文提到，一个复数是有多种表示形式的，除了其代数形式，还有三角形式、指数形式和极坐标形式。

如下图30-4所示，根据复数F在复(píng)面上的表示，可以得到复数F的三角形式。结合复数F的代数形式，|F |和θ与a和b之间的关系如图30-4中所示。在一些书面上，复数F的实部还会表示为Re[F ]，即a =Re[F ]；虚部表示为Im[F ]，即b =Im[F ]。

电气新手必知：正弦量的相量表示（专业电气学姐带你学三十）
图30-4

另外，复数F的指数形式和极坐标形式如下图30-5所示。其中e^j^θ=cosθ sinθ是欧拉公式的表达式，这是属于复变函数的知识，较为复杂，在此就不展开讲解啦。我们只需知道结论即可。极坐标和直角坐标都是二位坐标系统，相对于直角坐标系，极坐标系只有一条坐标轴叫极轴，其原点叫极点，如图30-5所示。