输电导线悬点等高时导线弧垂与线长及应力的关系
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有关输电导线悬点等高时导线弧垂与线长及应力的关系，悬链线方程及曲线弧长，曲线弧长（或弧长方程），平抛物线方程是悬链线方程的简化形式。 输电导线悬点等高时导线弧垂与线长及应力的关系 通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定： （1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。 （2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。 实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图1所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图1导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图1所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为Tx=σxS，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSLx， 其中Lx为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2所示，
图2导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=Txsinα=gSLx;水平方向分为T0=Txcosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、Tx为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为：
由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（1）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量Lx消去，因此，将式对x微分得：
（微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2 (dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分
这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有：
再进行分离变量积分，有
于是，导线任一点D的纵坐标为：
式（2）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件： x=0, dy/dx=tgα=0 代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝ 0 代入式（2），
式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa; g—导线的比载，N/m.mm2。 当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可以得到不同的公式。若式（2－13）中x代表档距的时候，则y即为导线的弧垂，因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称为精确式。 实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下： 由式,
变换为 由积分式 则有：
将两式相减则有： 因为双曲正弦函数为： 双曲余弦函数为： 又因为： 最后积分有： 定积分常数,因在坐标原点则 在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式（2－13）展开成无穷级数（在x=0点），可得：
2、曲线弧长（或弧长方程） 导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。将式（2－11）代入式（2－10）中，且积分常数C1＝0，得导线的弧长方程为
根据式（2－15）可以计算一个档距内导线的曲线长度（也叫一档线长）将弧长方程式（7）展开成无穷级数可得：
二 、平抛物线方程 平抛物线方程是悬链线方程的简化形式之一。它是假设作用在导线弧长上的荷载沿导线在x轴上的投影均匀分布而推出的，在这一假设下，图2-6中导线所受垂直荷载变成 即用直线代替弧长，从而使积分简化，由此导出平面抛物方程为
相应导线的弧长方程式为：
实际上式(2-17)是式(2-14)取前一项的结果，式(2-18)是式(2-16)取前两项的结果，这恰说明它是悬链线方程的近似表达式。 当悬挂点高差h/≤10%时，用平抛物线方程进行导线力学计算，可以符合工程精度要求。 三 、悬挂点等高时导线的应力、弧垂与 (一)导线的弧垂 |
(1)
（2）
（3）
，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为：
（4）
对其求导得：
,为找原函数进行积分,
两边积分，
变为指数形式为
这是个隐函数，为解出
，对应有式：
，其结果是一样的，即
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
