逻辑代数中的基本运算

在数字电路中，二进制数码0和1不仅可以表示数量的大小，而且可以表示两种不同的逻辑状态。例如，用“1”和“0”分别表示事情的“是”与“非”，电压的“高”与“低”，开关的“通”与“断”，电灯的“亮”与“灭”等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。

在客观世界中，事情的发展变化通常都存在着一定的逻辑关系，描述客观事物之间逻辑关系的数学方法称为逻辑代数。由于英国数学家乔治·布尔（Georoge boole）最先创立了逻辑代数的数学方法，因此又称为布尔代数。布尔代数广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析和实际中，故又称为开关代数，

逻辑代数中，也有变量和常量之分。和普通代数比较，逻辑代数中的常量称为逻辑常数，只有0和1两个逻辑常量。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，也用英文字母表示，逻辑变量的取值只有0和1两个值。在逻辑代数中。0和1不表示数值的大小，而表示事物的两种不同的逻辑状态。

逻辑代数的基本运算由3种：与、或、非运算。还有由基本运算复合而成的复合运算，常用的由与非、或非、与或非、异或、同或运算等。

1、基本逻辑运算

（1）逻辑与

只有决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生，否则不发生。这种逻辑关系称为逻辑与的关系。逻辑与的运算符号是“·”，也可以省略。在图1（a）所示电路中，开关A、B与灯Y串联连接，如果开关的闭合状态用“1”表示，断开状态用“0”表示，灯亮的状态用“1”表示，灯灭的状态用“0”表示，则开关与灯之间的逻辑关系可以用图1（b）表示，称为逻辑真值表。

图1 逻辑与

由逻辑直值表可知，逻辑与的关系是：输入有0，输出为0；输入全1，输出为1。

逻辑与的表达式为

(1)

在数字电路中能实现与与运算的电路称为与门电路，其逻辑图形符号如图1（c）、（d）所示。图1（c）所示为国标符号，图1（d）所示为美国标准符号。

如果串联开关的数量为n个，逻辑与的表达式可以推广到多个变量的一般形式，即

(2)

（2）逻辑或

当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就会发生，这种逻辑关系称为逻辑或的关系。逻辑或的符号是“ ”，不能省略。

再图2（a）所示电路中，开关A与B并联连接，当开关A和B其中一个闭合的条件下，灯Y就亮，则灯与开关A、B之间是逻辑或的关系。

图2 逻辑或

如果开关的闭合状态用“1”表示，断开状态用“0”表示，灯亮的状态用“1”表示，灭的状态用“0”表示，则开关与灯的逻辑关系可以用图2（b）表示。

由逻辑真值表可知，逻辑或的关系式：输入有1，输出为1；输入全0，输出为0.

逻辑或的表达式

(3)

在数字电路中能实现或运算的电路成为或门电路，其逻辑图形符号如图2（c）、（d）所示。图2（c）所示为国标符号，图2（d）所示为美国标准符号。

如果串联开关的数量为n个，逻辑或的表达式可以推广到多个变量的一般形式，即

(4)

（3）逻辑非

某事情的发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。这样的逻辑关系称为逻辑非。

图3（a）所示电路中，开关A与灯Y并联连接，当开关A闭合时，灯Y不亮，当开关A断开时，灯Y亮。则灯Y与开关A之间是逻辑非的关系。

如果开关的闭合状态用“1”表示，断开状态用“0”表示，灯亮的状态用“1”表示，灭的状态用“0”表示，则开关与灯之间的逻辑关系可以用图3（b）表示。

图3 逻辑非

逻辑非的表达式为

(5)

式中变量A上面的符号“—”表示对变量A求非运算。A成为原变量，称为反变量。

在数字电路中实现非运算的电路称为非门电路，其逻辑图形符号如图3（c）、（d）所示。图3（c）所示为国标符号，图3（d）所示为美国标准符号。

任何复杂的逻辑运算电路都可以由这3种基本逻辑运算组合而成。在实际应用中为了减少逻辑门的数目，使数字电路的设计更为方便，还常使用其他几种逻辑运算。

（1）与非运算

与非是由与运算与非运算组合而成，如图4所示。

与非运算的逻辑式：

(6)

图4（a）所示为真值表，图4（b）所示为国标符号，图5（c）所示为美国标准符号。

图4 逻辑与非

（2）或非运算

或非是由或运算和非运算组合而成，如图5所示。

或非运算的逻辑是：

(7)

图5（a）所示为真值表，图5（b）所示为国标符号，图5（c）所示为美国标准符号。

图5 逻辑或非

（3）异或

异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑真值表和相应逻辑门的符号如图6所示。

异或运算的逻辑式：

(8)

图6（a）所示为真值表，图6（b）所示为国标符号，图6（c）所示为美国标准符号。

图6 逻辑异或

（4）同或

同或是异或的反运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。同或的逻辑真值表和相应的逻辑门的符号如图7所示。

同或运算的逻辑式：

(9)

图7（a）所示为真值表，图7（b）所示为国标符号，图7（c）所示为美国标准符号。

图7 逻辑同或